第三节 连续与间断

函数在某点处连续

函数在某点连续的定义

设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的某邻域内有定义, 若

$$\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=f(x_{0})$$

那么称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处连续.

函数在某点处连续即该点处函数的极限值=函数值。

左、右连续

(1) 若

$$\lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} f(x)=f\left(x_{0}\right)$$

则称函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处左连续;

(2) 若

$$\lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f(x)=f\left(x_{0}\right)$$

则称函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处右连续.

$f(x)$ 在点 ${x_0}$ 处连续 $\Leftrightarrow f(x)$ 在 ${x_0}$ 处左连续且右连续.

设

$$f(x)=\begin{cases} x+a& ,x<0\\ \frac{\pi}{2}& ,x=0\\ \frac{b\sin (x^2)}{\ln(1+2x^2)}& ,x>0 \end{cases}$$

在 $x=0$ 处连续, 求常数 $a,b.$

▶答案

$a = \frac{\pi}{2}, b = \pi$

▶详解

【解】 由题意可知, 函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续, 根据连续的定义, 函数在该点处的左极限、右极限与函数值必须相等, 即:

$$\lim\limits_{x \to 0^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = f(0).$$

该点处的函数值为 $f(0) = \frac{\pi}{2}$.

分别计算 $x=0$ 处的左极限与右极限: 对于左极限, 当 $x \to 0^-$ 时,

$$\lim\limits_{x \to 0^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^-} x + a = a.$$

对于右极限, 当 $x \to 0^+$ 时:

$$\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^+} \frac{b\sin (x^2)}{\ln(1+2x^2)} = \lim\limits_{x \to 0^+} \frac{b \cdot x^2}{2x^2} = \frac{b}{2}.$$

上述应用了等价替换, 当 $x \to 0$ 时, 有 $\sin(x^2) \sim x^2$ 且 $\ln(1+2x^2) \sim 2x^2$.

根据连续的充要条件, 有:

$$\begin{cases} a = \frac{\pi}{2} \\ \frac{b}{2} = \frac{\pi}{2}ß \end{cases}$$

解得常数 $a = \frac{\pi}{2}$, $b = \pi$.

[评注]

计算 $\lim\limits_{x \to 0^-} \arctan \frac{1}{x}$ 时，可将其看作复合过程：

内层 $u = \frac{1}{x}$ 在 $x \to 0^-$ 时趋于 $-\infty$；外层 $\arctan u$ 在 $u \to -\infty$ 时趋向于 $-\frac{\pi}{2}$。脑海中要浮现 $\arctan$ 的两条水平渐近线。

已知函数

$$f(x)=\begin{cases} \frac{\sin 2x}{x} & ,x<0\\ a & ,x=0\\ x \cos \frac{1}{x} + 2 & ,x>0 \end{cases}$$

若 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续, 求常数 $a$ 的值.

▶答案

$a = 2$

▶详解

【解】 依据函数在某点连续的充分必要条件, 必须有 $\lim\limits_{x \to 0^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$.

计算左极限:

$$\lim\limits_{x \to 0^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^-} \frac{\sin 2x}{x} = 2.$$

计算右极限: 当 $x \to 0^+$ 时, $\cos \frac{1}{x}$ 为有界函数 (即 $\left|\cos \frac{1}{x}\right| \le 1$), $x$ 为无穷小量. 由无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量可知 $\lim\limits_{x \to 0^+} x \cos \frac{1}{x} = 0$. 故:

$$\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^+} \left( x \cos \frac{1}{x} + 2 \right) = 0 + 2 = 2.$$

由于左极限与右极限相等, 函数在 $x=0$ 处的极限存在且为 $2$. 为使函数在 $x=0$ 处连续, 必须满足 $f(0) = \lim\limits_{x \to 0} f(x)$, 即 $a = 2$.

设函数 $f(x), g(x)$ 在点 $x_{0}$ 处均连续, 则函数 $f(x) \pm g(x)$, $f(x) g(x), \frac{f(x)}{g(x)}\left(g\left(x_{0}\right) \neq 0\right)$ 在点 $x_{0}$ 处仍连续.

若 $\lim\limits_{x \to x_0} \varphi(x) = u_0$, 而函数 $f(u)$ 在点 $u_0$ 处连续, 则

$$\lim\limits_{x \to x_0} f[\varphi(x)] = f(u_0) = f\left[ \lim\limits_{x \to x_0} \varphi(x) \right]$$

即: 如果外层函数连续, 极限符号可以放到内部.

推论 若 $y = f(u)$ 在 $u_0$ 连续, $u = \varphi(x)$ 在 $x_0$ 连续, 且 $u_0 = \varphi(x_0)$, 则复合函数 $y = f[\varphi(x)]$ 在 $x_0$ 处连续.

一切初等函数在其定义区间内是连续的.

函数的间断点

函数在某点不连续, 则称该点为函数的间断点.

我们将间断点分为两类.

如果 $f(x)$ 在间断点 $x_{0}$ 处的左、右极限均存在, 则称 $x=x_{0}$ 是 $f(x)$ 的第一类间断点.

(1) 若 $\lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f(x)\left(\neq f\left(x_{0}\right)\right)$, 则称 $x=x_{0}$ 是 $f(x)$ 的可去间断点;

(2) 若 $\lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} f(x) \neq \lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f(x)$, 则称 $x=x_{0}$ 是 $f(x)$ 的跳跃间断点

若 $\lim\limits _{x \rightarrow x_0^{-}} f(x), \lim\limits _{x \rightarrow x_0^{+}} f(x)$ 中, 至少有一个不存在, 则称 ${x_0}$ 是 $f(x)$ 的第二类间断点.

第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点. 常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点.

若 $\lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f(x)$ 或 $\lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} f(x)$ 不存在且为振荡的, 则称 $x=x_{0}$ 为函数的振荡间断点.

例如: (1) 函数 $f(x)=\dfrac{1}{x}$ 在 $x=0$ 处, 因 $\lim\limits _{x \rightarrow 0} \dfrac{1}{x}=\infty$, 故称 $x=0$ 是 $\dfrac{1}{x}$ 的无穷间断点;

(2) 函数 $f(x)=\sin \dfrac{1}{x}$ 在 $x=0$ 处, 因 $\lim\limits _{x \rightarrow 0} \sin \dfrac{1}{x}$ 不存在, 是振荡的, 故称 $x=0$ 是 $\sin \dfrac{1}{x}$ 的振荡间断点.

【注】 间断点往往在函数无定义的点或分段函数的分段点处寻找. 确定间断点后求极限即可判断类型.

求下列函数的间断点并判断其类型：

(1) $f(x)=x \sin \frac{1}{x}$

(2) $f(x)=\frac{\sin x}{x}$

(3) $f(x)=\frac{\sin x}{|x|}$

(4) $f(x)=\frac{x^{2}-1}{x^{2}-3 x+2}$.

▶答案

(1) $x=0$ 为可去间断点；

(2) $x=0$ 为可去间断点；

(3) $x=0$ 为跳跃间断点；

(4) $x=1$ 为可去间断点，$x=2$ 为无穷间断点。

▶详解

【解】 (1) 函数在 $x=0$ 处无定义, 故 $x=0$ 为间断点. 由于无穷小与有界量之积仍为无穷小,

$$\lim\limits_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0,$$

极限存在, 故 $x=0$ 为第一类间断点(可去间断点).

(2) 函数在 $x=0$ 处无定义, 故 $x=0$ 为间断点. 利用重要极限,

$$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1,$$

极限存在, 故 $x=0$ 为第一类间断点(可去间断点).

(3) 函数在 $x=0$ 处无定义, 故 $x=0$ 为间断点. 由于存在绝对值, 分别求其左右极限:

$$\begin{aligned} \lim\limits_{x \to 0^-} \frac{\sin x}{-x} &= -1, \\ \lim\limits_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{x} &= 1. \end{aligned}$$

左右极限均存在但不相等, 故 $x=0$ 为第一类间断点(跳跃间断点).

(4) 函数 $f(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-2)}$ 在 $x=1$ 和 $x=2$ 处无定义, 故 $x=1, x=2$ 为间断点. 当 $x \to 1$ 时,

$$\lim\limits_{x \to 1} \frac{x^{2}-1}{x^{2}-3 x+2} = \lim \limits_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-2)}=\lim\limits_{x \to 1} \frac{x+1}{x-2} = -2,$$

极限存在, 故 $x=1$ 为第一类间断点(可去间断点).

当 $x \to 2$ 时,

$$\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^{2}-1}{x^{2}-3 x+2} = \lim\limits_{x \to 2} \frac{x+1}{x-2} = \infty,$$

极限为无穷大, 故 $x=2$ 为第二类间断点(无穷间断点).

判断下列函数在指定点 $x_0$ 处的间断点类型：

(1) $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$, $x_0 = 1$;

(2) $f(x) = \frac{|x|}{x}$, $x_0 = 0$;

(3) $f(x) = \cos \frac{1}{x^2}$, $x_0 = 0$.

▶提示

判断间断点类型的核心在于分别计算该点处的左极限与右极限. 若左右极限均存在, 则为第一类间断点 (相等为可去间断点, 不等为跳跃间断点); 若左右极限中至少有一个不存在 (趋于无穷或振荡), 则为第二类间断点.

▶答案

(1) $x_0 = 1$ 是第一类可去间断点；

(2) $x_0 = 0$ 是第一类跳跃间断点；

(3) $x_0 = 0$ 是第二类振荡间断点。

▶详解

【解】 (1) 对于 $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$, 点 $x_0 = 1$ 是无定义点.

计算其在 $x \to 1$ 时的极限:

$$\lim\limits_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim\limits_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim\limits_{x \to 1} (x+1) = 2.$$

由于该点极限存在 (即左右极限均存在且相等为 $2$), 但函数在该点无定义, 故 $x_0 = 1$ 是该函数的 第一类可去间断点.

(2) 对于 $f(x) = \frac{|x|}{x}$, 点 $x_0 = 0$ 是无定义点. 分别计算左右极限:

当 $x \to 0^+$ 时, $|x| = x$, $\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{x}{x} = 1$; 当 $x \to 0^-$ 时, $|x| = -x$, $\lim\limits_{x \to 0^-} \frac{-x}{x} = -1$.

由于左右极限均存在但不相等 ($1 \neq -1$), 故 $x_0 = 0$ 是该函数的第一类跳跃间断点.

(3) 对于 $f(x) = \cos \frac{1}{x^2}$, 点 $x_0 = 0$ 是无定义点. 当 $x \to 0$ 时函数值在 $-1$ 与 $1$ 之间不断振荡, 故 $x_0 = 0$ 是该函数的 第二类振荡间断点.